Решение систем линейных алгебраических уравнений

Пример компактных групповых вычислений системы MATLAB – решение систем линейных уравнений.

Решить квадратную систему линейных алгебраических уравнений

Решение:

В матричном виде система имеет вид Ах =в, где

A=, b=, х =

– матрица из коэффициентов при незвестных и вектор - столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если ?А?=det(A) ≠0, то применяя оператор обратного деления матриц < \ >, получим:

>> А=[1 3 0;-2 -2 5;1 0 -5]

А =

1 3 0

-2 -2 5

1 0 -5

>> b=[-2;10;-9]

b =

-2

10

-9

>> d=det(a)

d =

-5

>> x=А\b

x =

1

-1

2

Отметим, что для контроля ввод A, b, c сопровождается выводом.

Решение x₁=1, x₂=-1, x₃=2 легко проверить его подстановкой в систему уравнений:

>> disp(A*x)

-2.0000

10.0000

-9.0000

Получен вектор - столбец свободных членов. Система решена верно.

Найдем обратную матрицу, а затем решение системы с помощью обратной матрицы:

>> A1=inv(A)

A1 =

-2.0000 -3.0000 -3.0000

1.0000 1.0000 1.0000

-0.4000 -0.6000 -0.8000

>> A1*b

ans =

1.0000

-1.0000

2.0000

Однако такой способ требует больше времени и памяти, к тому же он может дать большую погрешность решения. Поэтому для решения систем следует применять знак < \ >.

Замечание

Решение системы линейных уравнений с рациональными коэффициентами и обратная матрица системы также рациональные (формулы Крамера).

Решить квадратную систему линейных алгебраических уравнений

Решение:

>> a=[1 3 0;-2 -2 5;1 0 5]

a =

1 3 0

-2 -2 5

1 0 5

>> b=[-2 10 -9]

b =

-2 10 -9

>> disp(det(a))

35

>> disp(inv(a))

-0.2857 -0.4286 0.4286

0.4286 0.1429 -0.1429

0.0571 0.0857 0.1143

>> x=a\b'

x =

-7.5714

1.8571

-0.2857

Отметим обратное деление на b', поскольку вектор из свободных членов b введен как вектор – строка. Это приближенное решение , а точное решение имеет вид

>> format rat

>> x=a\b'

x =

-53/7

13/7

-2/7

>> disp(inv(a))

-2/7 -3/7 3/7

3/7 1/7 -1/7

2/35 3/35 4/35