ДИСКРЕНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Преобразование Фурье

Ортогональные функции

Для лучшего понимания вопроса о рядах Фурье дадим определение ортогональным функциям. Множество непрерывных функций действительного переменного называется ортогональным на интервале , если

(1.1)

При множество {U_n(t)} называется ортонормированным.

Ряд Фурье

Для теории формирования и обработки сигнала особое значение имеет возможность разложения заданного в виде функции сигнала по различным ортогональным системам функций.

Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:

, (1.2)

где (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с периодом T функции соотношением . Частоты называют гармониками, так как они кратны основной частоте . В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида .

Коэффициенты {a₀, a_n, b_n} из формулы (1.2) можно вычислить с учетом ортогональности множества функций {cos nw₀t, sin nw₀t} на периоде T:

(1.3)

(1.4)